数学史视角下的探究性学习：以函数奇偶性教学为例

探究式学习是一种积极主动的学习方式，有利于充分发挥学生学习的自主性和能动性，培养学生的探索意识和创新能力，也有利于学生的“再发现”和“再创造”。王小勤教授认为，将数学史融入数学课堂，学生不仅能“知其然”，还能“知其所以然”，知道它的“今生”和“前生”，能“近看树木”和“远看森林”。这样，我们既能实现知识和技能目标，也能实现过程和方法目标，情感和信念目标。大量的HPM实践研究也证明了这一点。 蒲淑萍、王小勤教授认为，将数学史引入数学课堂的最好方式是用数学史去重构教学内容，也就是综合运用，这在某种程度上与弗洛伊登塔尔所倡导的“重新发现”和“再创造”思想是一致的。因此，从根本上说，HPM教学是符合探究性学习精神的，HPM教学是推动探究性学习的有效手段。“函数奇偶性”是高中数学中的一个重要概念，在平时的教学中，教师往往会根据教材从正比例函数、反比例函数、最简单的二次函数、绝对值函数图像的对称性出发，推导出它们的解析表达式，从而得到函数奇偶性的概念。 这种教学方式缺乏探究，不利于学生充分了解函数奇偶性概念的来龙去脉，如名称的意义、例子的普遍性等，更不利于培养学生的探索意识和创新精神。

因此，笔者尝试将数学史融入到《函数奇偶性》的教学中，让学生通过自主、合作、探究的学习方式，亲身体验函数奇偶性概念的发生、发展，从而深刻把握函数奇偶性概念的内涵、外延和价值，充分领略数学家们是如何创造数学的。二、历史概述及教学启示1727年，瑞士著名数学家欧拉（L.~1783）在提交给圣彼得堡科学院的一篇论文中首次提出了奇函数、偶函数的概念：形式为（奇数）的函数以及由这两类函数组成的函数被称为偶函数，因为它们都满足条件（奇数），由这两类函数组成的函数被称为奇函数）。显然，欧拉本文提出的奇偶函数是指幂函数以及由幂函数经加、减、乘、除、平方根运算组成的代数函数。 它们的名字来源于幂函数指数的奇偶性：指数为偶数的幂函数为偶函数，指数为奇数的幂函数为奇函数。1748年，欧拉在其名著《无限分析导论》中扩展了奇函数和偶函数的概念，并给出了更多的奇函数和偶函数性质；但在讨论奇函数和偶函数的概念时，他虽然考虑了一些超越偶函数，但仍然没有给出明确超越函数的例子。1792年，法国数学家勒让德（A.~1833）在提交给法国科学院的论文中明确提到了正弦函数的奇偶性。然而，直到19世纪初，这两个概念仍然没有被数学家广泛使用。

例如，英国数学家德·摩根（1806-1871）所著的《代数学基础》一书，仍然没有提到函数的奇偶性，直到19世纪后期，数学家才将奇函数、偶函数的概念进一步扩展为超越函数。20世纪初，这两个概念传入我国，并被收录于1938年版的《数学术语汇编》和1945年出版的《数学术语》中。通过回顾函数奇偶性概念的发展历史，我们知道函数奇偶性的概念源于幂函数。因此，我们可以利用幂函数的形象和性质，引导学生对函数奇偶性的概念进行探究性学习。然而，按照教材的安排，在讲授函数奇偶性概念时，学生并没有学过幂函数。 鉴于此，我们拟指导学生利用数学软件（如几何画板等）画出幂函数的图像，再利用幂函数的图像探究幂函数的性质（主要是对称性），最后由幂函数的性质得到奇函数、偶函数的概念。 三、教学设计（一） 导言 首先，教师引导学生回顾函数的概念和函数的三种表达方式，了解函数在人们生产生活中的广泛应用和重要性，进而介绍学习函数性质的必要性。 然后，教师将学生最熟悉的正比例函数和二次函数概括为的形式，要求学生利用软件分小组合作奇偶性，从形数的角度探究函数的性质，并通过汇报、交流等方式总结各自的发现。

（二）形的透视探索。首先，教师引导学生通过软件编程进行画图。然后，教师引导学生从整体上观察这些图像，讨论并发现：函数的性质比较接近，如定义的定义域都是轴对称图形。最后，教师引导学生从局部观察这些图像，讨论并发现：在第一象限，的增加。因此，教师引导学生重点研究两类以前没有研究过的像对称性，它们差别很大，可以实现整体与局部的转化。数的透视探索。教师引导学生从形到数的转化，寻找上述两类像对称性的解析表达式。首先，教师引导学生从特殊到一般计算自变量关于零点对称（即它们是相反数）时的函数值。然后，教师引导学生比较计算结果，讨论并发现：）始终成立。 最后，教师引导学生发现两类解析表达关系等价于上述两类像对称性。 （三）生成 教师引导学生概括上述发现，进行猜测和证明： 当值谈到原点时，教师指出：这是一个很有意义的发现，这个性质从形的角度已经有了一个不太简洁的名称，需要从数的角度赋予它一个简洁的名称。学生不难发现这个性质和函数的奇偶性有着密切的联系，即由于指数的奇偶性而不同，因此可以想到“奇函数”和“偶函数”的名称。因此，教师指出：为了区别函数的这个性质，瑞士著名数学家欧拉把它们分别称为奇函数和偶函数，这个名字的由来显然是因为指数的奇偶性； 但后来欧拉等数学家把奇函数、偶函数的概念推广到代数函数和超越函数中，从而得到了我们今天的奇函数、偶函数的概念。

然后，教师引导学生完成奇函数和偶函数的定义。 47 设计指南 教育研究与评析 课堂观察 2016（四） 巩固与应用 为了让学生牢牢掌握函数奇偶性的概念，教师引导学生从探索过程和定义中提炼出判断函数奇偶性的方法：从形 状上看，只要观察验证函数的图形是否关于原点或轴对称；从数 量上看，先能判断函数的定义域是否关于原点对称（如果不关于原点对称，则该函数必 然不具奇偶性），然后只需验证是否成立。 为了让学生掌握函数奇偶性的判断，教师设计了两个练习让学生练习： 图上的奇函数，部分如图所示。试根据图形写出不等式，它是数学史上一个著名的 例子。 欧拉在研究这两个函数的性质时犯了一个错误：他没有正确地区分函数）。这道题能更好地考查学生从数的角度对函数概念和函数奇偶性概念的理解。例题是函数奇偶性概念的反向应用。这道题能更好地考查学生从形的角度对函数奇偶性概念的理解。四、结语数学史是一座宝库，无论时代如何变迁，从事数学研究和数学教育的人都能也应该始终从中汲取有益的思想营养。作者通过回顾函数奇偶性的历史渊源，设计了“通过重构反映函数奇偶性概念的形成过程，通过加法展现奇偶函数的发展历史”的教学思路，引导学生从形和数的角度探究幂函数的性质，通过幂函数对称性的比较和推广得到奇偶函数的概念，让学生体会概念发展的过程，实现“重新发现”和“再创造”。

如今，函数奇偶性已经与奇数、偶数没有直接的联系，名与义已经分离，这就是数学上所谓的“旧瓶装新酒”现象。但了解这一现象对于我们更好地理解和教学数学概念还是有很大帮助的。学生亲身体验函数奇偶性概念的过程，知道教材中奇偶函数定义的来源，激发学习动机，加深对概念的理解，获得数学探索、发现、创造的奇妙体验，提高探索意识和创新能力。在撰写本文的过程中，吸收了华东师范大学数学系王小勤教授的批评和建议，在此向他表示诚挚的感谢。参考文献：教育研究与评论（中学教育教学）2014数学教育学刊，2011数学通讯，2014太原：山西教育出版社，1997]王小勤，张小明。 HPM研究的内容与方法数学教育杂志，2006