图形直角三角形的理解

在图形学中，直角三角形是最基本、最重要的。大概正因为如此，几乎所有的古代文明都研究过直角三角形，而在很多古代文明的历史文献中都明确记载了与直角三角形边长密切相关的三个数值：3、4、5在中国，这三个值最早记录在《周髀算经》。书上说，商皋回复周公：

勾光3号、古秀4号、钓鱼5号

也就是说，对于一个直角三角形，如果两条直角边（钩、股）的长度分别为3和4，那么斜边的长度就是5。三国时期的赵爽给出了一个通则他在这个问题上得到了结果，并在记下《周髀算经》 时证明了结果。设两条直角边为a、b，斜边为c，则三边长的关系为

a2+b2=c2 (1)

我们把上面的定理称为勾股定理，满足上面公式的整数解称为勾股数，它是一个由三个整数组成的数组。在西方，这个定理被称为毕达哥拉斯定理，这个数组被称为毕达哥拉斯数。显然，(3,4,5)是勾股数的集合，并且是最小勾股数的集合。卡洪纸莎草纸发现于尼罗河三角洲，可追溯至公元前约2,000 年，标题如下：

“一个面积为100的大正方形被分成两个小正方形，其中一边是另一边的四分之三。”

答案正是一组毕达哥拉斯数（6,8,10）。古埃及人得到这样的结果：如果b=1，则a=3/4，则由式（1）可得c=5/4。现在c=10，是5/4的8倍，所以我们可以得到结论：a=(3/4)8=6，b=18=8。这里用到了命题“两个三角形相似当且仅当两个三角形的对应边成比例”。这个命题是我们今天初中数学教学的难点之一。那么古埃及人是如何直观地获得这一点的呢？那提案呢？我认为这可能是毕达哥拉斯定理的巧妙应用。我们对这个问题的分析如下：

我国初中数学《图形与几何》教学中，对于相似形状，只给出了相似多边形的定义：如果两个多边形的对应角相等且对应边成比例，则这两个多边形多边形被认为是相似的。显然，这个定义并没有回答存在性的问题，也就是说，它没有给出“对于任何给定的相似边比，相似多边形都存在”的命题。因此，当将多边形相似性的定义应用于三角形时，就会出现问题，因为要使两个三角形相似，只需要对应的边成比例即可。这意味着对应边成比例的两个三角形的对应角也必须相等。然而，要证明这个命题是相当麻烦的。这也是中学数学教学中比较难的问题之一。现在，我们暂且回到古埃及人的思维。

首先，古埃及人清楚地知道，当且仅当毕达哥拉斯定理成立时，三角形才是直角三角形。也就是说，他们不仅知道直角三角形的三个边长满足方程（1），而且还知道边长满足（1）式中的三角形是直角三角形。许多数学史上的专家甚至认为，古埃及人建造金字塔时，是用毕达哥拉斯数集（3、4、5）来确定直角的。那么，对于两个三角形1和2，假设边长分别为a、b、c和A、B、C，如图(1)(a)所示：

如果1是直角三角形，并且与2的对应边成正比，即a/A=b/B=c/C，则毕达哥拉斯定理知道2也是直角三角形，且角相等到角，则可得图(1)(b)。所以我们知道这两个直角三角形相似，即直观地得到命题“如果两个直角三角形的对应边成比例，则这两个三角形相似”。因为任意三角形都可以简化为两个直角三角形，所以不难得到“两个三角形对应边成比例，则这两个三角形相似”的一般性结论。

上述计算中采用了直角三角形的边角关系，即图(1)(a)

= 当且仅当b/a=B/A (2)

可以看出，上式构建了三角函数的直观基础：任意两个直角三角形中，如果其中一个锐角相等，则这两个直角三角形的直角边之比为相等，也就是说，等角对应的直角边长之比是一个常数。因此，可以定义这个常数值，例如称其为正切值，即式(2)右边的比值正好是角度的三角函数的正切值(因此角度 ）。可见，由于生产实践的需要，古埃及人创造了许多计算图形的长度、面积、体积以及棱角关系的方法。然而，更令人惊讶的是在美索不达米亚的发现。有学者认为，古巴比伦人在公元前1600年之前就已经制作出了三角函数的正切表，这当然与毕达哥拉斯数有关。

古代巴比伦

源源不断的底格里斯河和幼发拉底河发源于现在的土耳其，流入波斯湾。两条河流灌溉了美索不达米亚平原，也孕育了美索不达米亚文明。公元前19世纪，在这片土地上建立了强大的巴比伦王国，首都设在巴比伦城，因此人们也称这里的文明为古巴比伦。事实上，美索不达米亚文明持续了三千多年，古巴比伦是美索不达米亚文明最重要的一部分，但并不是全部。关于巴比伦城，希罗多德在其著作《历史》中是这样描述的：

“这座城市坐落在一大片平原上，呈正方形，每边长120斯塔德，所以它的周围总共有480斯塔德。这座城市如此之大，其宏伟程度是我们所见过的任何城市都无法比拟的。”知道。

有一条河将城市从中间分成两部分。这条河就是幼发拉底河，它是一条又宽又深、水流湍急的河流。它起源于阿尔美尼亚，流入红海。”

希罗多德

体育场的长度单位约为211-224米。如果希罗多德的记载可靠的话，那么巴比伦古城一侧的长度约为26公里，整个城市的面积约为670平方公里。米，相当于今天的新加坡，确实是一个相当大的城市。然而，希罗多德《历史》中的许多记录并不可靠，并不像司马迁的《史记》那样经得起推敲。

我们已经提到，美索不达米亚的人们在泥板上雕刻了楔形文字。在已发现的数十万块泥板中，大约有300块与数学有关，其中包括一些数表，如乘法表、倒数表、方表和立方表。其中有一块名为“Plimpton 322”的泥板，记录了15组毕达哥拉斯数。我们知道，即使在今天，计算15 组毕达哥拉斯数也不是一件容易的事。然而，这项工作是在公元前1900年至1600年的古巴比伦时代完成的。真是太神奇了。

现代科学技术已经相当发达，但勾股定理至今仍被广泛使用。该应用基于以下几何直觉，如图（2）所示：

图（2）

我们把直角三角形的斜边看成二维空间中的向量c，那么向量c在直线L（一维空间）上的投影正好是a，即对于任意点d 在直线L 上，全部

||c-a||||c-d||

这意味着低维空间L中最接近c的点是a。也就是说，如果要用低维空间中的一个点来代替c，最合适的点是a。我们可以将这个思想推广到一般，即利用毕达哥拉斯定理的方法将高维空间中的向量c投影到低维空间L上。这为处理大规模数据或多维数据提供了一种强有力的方法。尺寸参数模型。强大的数学工具。