（每日一题）椭圆的交叉阴影面积计算公式有哪些

第1部分：椭圆面积计算公式

圆和椭圆的交叉阴影线面积：

圆的面积与椭圆的面积之比为cosθ，则cosθ=πR^2/S=2R/2a。 椭圆的短轴b是圆柱底面的半径R，即R=b，所以S=πR^2*a/R=πaR=πab。

椭圆的斜率公式：

通过椭圆上的点 (x, y) 在 x^2/a^2+y^2/b^2=1 处的切线的斜率是 -(b^2)X/(a^2) y。

椭圆上的点(x,y)与两个焦点构成的三角形的面积为S=b^2*tan(α/2) α为点(x,y)与直线的夹角连接两个焦点。

第二部分：三角形面积的计算公式是什么？

三角形面积公式：

1. 给定三角形的底a和高h，则S=ah/2

2. 给定三角形的三条边a、b、c，则

（海伦公式）(p=(a+b+c)/2)

S=√[p(pa)(pb)(pc)]

= (1/4)√[(a+b+c)(a+bc)(a+cb)(b+ca)]

3. 给定三角形的两条边a和b，以及这两条边之间的角度C，则S=1/2 *

4. 假设三角形的三边分别为a、b、c，内切圆的半径为r。

那么三角形的面积=(a+b+c)r/2

5. 假设三角形的三边分别为a、b、c，外接圆的半径为R。

那么三角形的面积=abc/4R

6、海伦-秦九少三角中线面积公式：

S=√[(Ma+Mb+Mc)*(Mb+Mc-Ma)*(Mc+Ma-Mb)*(Ma+Mb-Mc)]/3

其中 Ma、Mb、Mc 是三角形的中线长度。

7. 根据三角函数求面积：

S= ab sinC=2R = /2sinA

注：R为外接圆半径。

8. 根据向量求面积：

SΔ)= √(|AB|*|AC|)-(AB*AC)

第三部分：三角形面积计算公式的推导

教学内容：人民教育出版社第9卷三角形面积公式的推导

教学目标：

1、通过让学生主动探索三角形面积计算公式，体验三角形面积公式的探索过程，可以进一步体验变换的数学思想和方法。

2.使学生了解三角形面积的计算公式，并正确计算三角形的面积。

3、通过操作、观察、比较，培养学生的问题意识、概括能力和推理能力，发展学生的空间概念。

教学流程：

1.阅读题。

首先让学生自己阅读以下材料，然后以小组形式分享你学到了什么知识，可以提出什么问题，并写下问题。

1厘米

读完后，学生首先回顾了平行四边形和矩形面积的公式和推导过程。 随后同学们提出了问题。 主要问题是：

(1)如何通过数正方形求三角形的面积？

（2）如何在不计算正方形的情况下求三角形的面积？ 有通用公式吗？

（3）三角形能否转化为我们学过的求面积的图形？

(4) 这些变换后的图形与三角形有什么关系吗？

（分析：孔子曾说过：“疑，思之始，学之终。”这里老师打破了学生等待老师提问的常规，要求学生以阅读材料为学习主题，提出问题通过阅读，真正体现了“以生活为本”“为本”。）

2.激发思想

1. 数平方问题

根据学习材料，学生可以通过数正方形来解决求三角形面积的问题。

老师接着问：有一个很大的三角形池塘。 如何通过数正方形来求出它的面积？

学生静静地笑了。 你笑什么？ 老师问道。 学生们表示，数正方形太麻烦，而且池塘不容易分成正方形。

嗯，看来计算正方形的面积有一定的局限性。 今天我们来研究三角形的面积。

（分析：一石激起千层浪，学生对数平方法局限性的理解的困惑和冲突，有效地引发了学生对面积计算公式的探索，给了学生探索和发现的空间。）

2、转换问题

你想把三角形转成什么形状？ 学生将转换成平行四边形、长方形和正方形。 梯形好吗？ 这时，学生就会有两个答案。 有人说是，有人说不是。 为什么不？ 老师提出要求，学生们在讨论中达成了共识：一定要转化成学过的、能计算面积的图形。

师：怎样才能把三角形变成这些图形呢？ 要求学生运用手中的学习工具，通过拼凑、折叠、切割、转化为这些图形来解决以下问题。

（分析：这里，将“新”问题转化为“旧”问题来解决，有效地将学习方法指导融入到教学中，为学生的自主创造了更广阔、更真实的空间，这无疑有利于学生的可持续发展。 ）

3.探索并解决疑虑

学生操作、讨论、报告。

1. 变换图形

学生的答案有很多，包括将两个相同的三角形转化为平行四边形、长方形和正方形，沿高度切割三角形形成正方形或长方形，以及沿中线将三角形对折等。 ，两边也折叠成2层长方形。

2.解决转换前后图形之间的关系

(1)尺寸关系

通过比较，学生发现两个相同三角形组成的图形与三角形的关系为S=S÷2。 三角形转换的图形与三角形的关系为S=S

(2) 底部与顶部的关系

拼接前后零件之间的关系如何？ （指底和高）你能推导出三角形面积的公式吗？

学生1：两个相同的锐角三角形变成平行四边形。 三角形的高是平行四边形的高，三角形的底是平行四边形的底。 因为平行四边形的面积为底×高，而且它是由两个三角形组成的，所以三角形的面积为底×高÷2

师：思路非常清晰。 为什么是÷2？ 谁愿意多说？

（学生依次说出拼出长方形和正方形的两种情况）

(3) 公式推导

师：学生们真是太棒了。 他们想出了很多好方法来推导三角形面积的公式。 那么谁能告诉你三角形的面积等于多少呢？

健康：底×高÷2

老师：如果我用S表示三角形的面积，a表示三角形的底，h表示三角形的高，那么三角形面积的公式应该怎么表达呢？

学生：S=a×h÷2

(4) 推导与展开

师：我们再来看第二组。 你能通过三角形的变换推导出三角形的面积公式吗？

学生1：我把一个等腰三角形对折，然后从中间切开，形成一个矩形。 这个矩形的底是三角形底的一半，高是三角形的高，因为矩形的面积是长×宽，而矩形的面积等于面积三角形的面积，所以三角形的面积为底×高÷2。

学生2：我将一个直角三角形的顶部对折，然后将其剪开并在一侧修补以形成一个矩形。 这个矩形的长是三角形的底，高是三角形高的一半，因此也可以推导出三角形的面积是底×高÷2。

学生3：我把一个三角形沿着两边的关键点对折，然后把底边的关键点对折，形成一个长方形。 这个矩形的底是三角形底的一半，宽度是三角形高的一半。 利用2，我们还可以推导出三角形的面积为底×高÷2

师：这个方法怎么样？ 谁能评价一下？ 学生评价，很好。

学生4：我还有一个办法。 对角折叠一个矩形。 因为长方形的面积是长×宽，而长方形是由两个三角形组成的，所以三角形的面积就是底×高÷2

（分析：给予学生充分的探索权，学生可以自由组合，利用已有的知识和经验，通过折叠、移动、拼字、剪切等方式获得不同的图形。虽然角度不同，方法不同，形状也不同。方法，却达到了同样的目的，得到了​​计算三角形面积的正确公式（更重要的是，在探索过程中，学生的思维空间得到了拓展，思维个性得到了发挥。）

概括

展示学习材料2，学生读后谈谈自己的想法。 了解祖国的古代科学家们很了不起，两千多年前就导出了这个公式。 今天，同学们还通过自己的研究推导出了计算三角形面积的公式，可见同学们也很聪明。 我相信，在未来的日子里，你们一定会有更多、更大的发现。 届时，你们的名字也将载入史册。 大家有信心吗？

老师：好的，今天课我们学了三角形的面积。 你学到了什么知识，收获了什么？ 回去继续反思、整理、写出反思报告。

（分析：课堂总结不仅要关注学生学了什么，还要关注学生用什么方法来学习，学完后有什么感受，并有意识地促使学生反思：我有什么问题？我打算做什么？做什么？，并将课后反思纳入持续的学习过程中）。

总结：本课有以下两个特点：

1、充分体现“问题意识的培养”。

老师采用了新的教学流程进行教学。 即主线是“提出问题”、“研究问题”和“解决问题”。 当一个问题解决了，新的问题就会出现。 学生总是“生气”、“愤怒”、探究问题，有效地调动了学生的学习热情，培养了学生的问题意识。

2、注重研究问题的过程。

本课采用思维训练代替重复练习。 它注重培养学生的创造性思维。 它引导学生运用多种方法进行转化椭圆形面积，然后通过观察、运算、比较、归纳、抽象概括等推导出公式。 没有通过太多的练习，我获得了非凡的解决问题的能力。 这个过程就是学生自主探究的过程。 这个过程是培养和提高学生综合能力的过程。

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