计算机领域实数的概念与性质以及性质的运算实数

一、实数的概念和性质 第一部分：实数的相关概念和性质以及实数的运算 实数的概念 实数可以分为两类：有理数和无理数，或者两类：代数数和超越数，或正实数、负实数和零三类。 实数集通常用粗体字母R表示。 并表示n维实数空间。 实数是不可数的。 实数是实数论的核心研究对象。 实数可用于测量连续量。 理论上，任何实数都可以用无限小数表示。 小数点右边是无限序列（可以是循环的或非循环的）。 在实际应用中，实数常常被近似为有限小数（保留小数点后n位，n为正整数）。 在计算机领域，由于计算机只能存储有限的小数位数，所以实数常常用浮点数来表示。 实数的运算规则 1、加法规则： (1) 将两个符号相同的数相加，然后得到

2. 如果符号相同，则将其绝对值相加； (2) 两个符号不同的数相加，取绝对值较大的被加数的符号，用较大的绝对值减去较小的绝对值。 可以利用加法交换律：两个数相加，交换被数的位置，和不变，即： 加法结合律：三个数相加什么是正实数，先将前两个数相加，或者将后两个数相加数字先相加时，和保持不变，即： 2.减法规则：减去一个数等于加上该数的相反数。 即ab=a+(-b) 3、乘法规则：（1）两个数相乘，符号相同取正，符号不同取负，绝对值相乘。 (2) n个实数相乘时，若其中一个因数为0，则乘积为0； 如果n个非0实数相乘，乘积的符号由负因数的个数决定。 当负面因素为偶数时，乘积为正； 当负面因素为奇数时，乘积为负。 (3)乘法可以利用乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置。

3、乘积不变，即： 乘法结合律：三个数相乘时，先乘前两个数，或先乘后两个数，乘积不变，即： 。 分配律：将一个数乘以两个数之和，相当于将该数分别乘以两个数，然后将乘积相加： 4. 除法规则： (1) 如果两个数除以相同的符号，则得到正数，如果符号不同，结果为负数，并除以绝对值。 (2) 除以一个数等于乘以该数的倒数。 即(3)0除以任意数都等于0，不能用0作为被除数。 5、幂：含义是n个a的乘法，即正数的任意次方都是正数，负数的偶次方是正数，负数的奇次方是负数数字。 幂和平方根互为逆运算。 。 6、实数的运算顺序：乘方和平方根为三级运算，乘法和除法为二级运算，加法和减法为一级运算。 如果没有括号，则必须在同级运算中从左到右进行运算。 不同级别的运气

4、计算时，先计算高级操作，再计算低级操作。 如果有括号，则先计算括号内的运算。 无论何种操作，都必须先注意符号，然后再进行操作。 实数计算的常见类型和方法 1、实数的运算 (1)加法：将两个符号相同的数相加，取原符号，并加上绝对值； 将两个符号不同的数字相加。 取绝对值较大的数的符号，用较大的绝对值减去较小的绝对值； 任何数字加零都等于原始数字。 (2)减法ab=a+(-b) (3)乘法两个数相乘时，符号相同为正，不同符号为负，绝对值相乘； 零乘以任何数都为零，即（4）除法（5）幂（6）平方根如果x2a和x0，则x； 如果x3=a，那么在同一个公式中，先乘除根，再乘除，最后有括号时加减，先计算括号内3个实数的算术定律 (1) 交换律添加

5. a+bb+a (2) 加法结合律 (a+b)+c=a+(b+c) (3) 乘法交换律 abba (4) 乘法结合律 (ab)c =a(bc) ( 5) 分配律 a(b+c)=ab+ac 其中 a、b、c 代表任意实数。 应用算术定律有时可以使运算变得更简单。 1、加法运算的方法和技巧。 例1 计算： 分析：题() 关键是确定运算顺序。 如果有括号，则先计算括号内的； （2）问题的关键是求出公式中绝对值符号的值，然后求出整个公式的值。 在进行有理数的混合计算时，小学学过的确定运算顺序的方法仍然适用：两个互为相反数的数先相加（即“异数组合法”）； 同号数先相加（“同号组合法”）； 分母相同的数先相加（“相反数的组合法”）“同分母的组合法”； 几个数相加得到一个整数首先要“凑”

6、“整数法”； 整数与整数、小数与小数相加的“同构组合法”。 2.乘除运算的方法和技巧。 例2：计算： 分析： () 没有括号用来指定运算顺序，所以我们应该先计算幂，然后计算除法，最后计算除法 (2) 使用括号来指定运算顺序，所以我们应该先计算括号里的内容，然后按顺序进行。 另外，我们还可以利用乘法加法的分配律去掉括号，然后按顺序注释： 对有理数进行混合运算时，首先要注意正确的运算顺序；其次要注意运算顺序。 其次，注意符号的变化； 第三，注意操作属性不要出错； 三、实数在幂运算中的相关概念和性质 2021 一、多项选择题 1.（2021 福建泉州，1,3）7 的相反数是（） A7 B7 C 11D 77 考点解剖：本题主要考查求相反数的方法。 准确把握相反数的定义是关键。

7. 钥匙； 解题思路：只有符号不同的两个数称为互斥数； 解题过程：与7只有符号不同的数是7，所以应该选B。要求一个数的相反数，只要在这个数前面加一个负号即可。 正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是0。 2.（2021年广东广州1、3分）实数3的倒数是（*）A？ 11 B C3 D3 33 本题测试如何求实数的倒数。 掌握求倒数的方法是解决问题的关键：求一个整数的倒数，写成这个整数的二分之一。 过程： 解：3是整数，3的倒数是1，故选B3。 规则总结： （1）求一个整数（或正整数）的倒数，写为该整数（或正整数）的二分之一； (2) 求一个分数（或分数）的倒数，

8. 交换分子和分母的位置求倒数后，如果分母包含根符号，则需要对分母进行有理化。 关键词：实数； 倒数3.（2021年广东省，1、3分）5的绝对值为( ) A5 B5 C 1 5 D 1 5 本题考查求实数的绝对值。 掌握求绝对值的代数方法是解题的关键：5是负数。 根据正数的绝对值，它等于它本身，零。 绝对值为零。 负数的绝对值等于它的相反数。 可以直接找到答案。 求解过程： 解：5是负数，它的绝对值等于它的相反数。 5的相反数是5，5的绝对值。是5，所以选A。 规则总结：求整数的绝对值通常有代数方法和几何方法。 代数方法直接根据定义，即正数的绝对值等于其自身，零的绝对值为零，负数的绝对值等于其相反数

9、几何法就是利用数轴，根据绝对值的定义，直接在数轴上画出对应的组合长度即可知道答案。 关键词：绝对值 4.（2021 广西桂林 1、3 分）2021 的相反数 是 ( ) A.2021 B.2021C.-2021D。 1 2021 考点解剖：本题测试相反数的概念。 回答这个问题的关键是理解相反数的含义。 解题思路：直接根据相反数的含义即可解题。 方法一：数字a的相反数是a； 方法二：在数轴上距原点左右两侧且距原点等距的两个数互为相反数。 解题过程： 方法一：2021的相反是2021； 方法二：2021在原点的右边，到原点的距离是2021个单位，所以它的对面是在原点的左边，到原点的距离也是2021个单位，所以

10、这个数是2021，选答案B。 答案：B 规则总结：一般我们在判断一个数的相反数时，只需在该数前面加一个负号，即该数的相反数a是-a，这题是个基础题。 关键词：对数 5.（2021年广西桂林2、3分）以下为若干城市某年1月平均气温，其中平均气温最低的是（ ） A. 桂林市 11.2 B. 广州市13.5 C. 北京-4.8 D. 南京 3.4 考点剖析：本题考查有理数的比较。 直接比较这四个数字的大小就可以找到答案。 解题思路：根据正数大于0，负数小于0，正数大于负数。 可以看到，这四个数字中，4.8是最小的。 回答过程：因为13.511.23.44.8，最低平均气温为北京-4.8，所以选择C。答案：C规则

11、总结：有理数的比较规则是：所有正数都大于0； 所有负数都小于 0； 正数大于所有负数； 两个负数中，绝对值较大者的值较小。 关键词：有理数比较1 2021 贵州安顺,1,3分）0,1,,2这四个数中，最小的数是（ ）21 A B0 C1 D2 2 考点解剖：本题考大小比较有理数。 掌握有理数大小比较的方法是Key。 解题思路：有理数中，负数小于0，负数小于正数，所以最小的数是-2。 求解过程： 解：-20 1 1，最小的数是-2，所以选D 2. 规则总结：有理数大小 比较的一般方法：所有正数都大于0，所有负数都小于0. 正数大于所有负数。 两个负数的绝对值越大越小； 在数轴上表示时，右边的数字总是大于左边的数字。 关键词：有理数

12. 比较尺寸？ 1?, 22) 7. (2021贵州安顺, 8, 3分) 实数中：3.14159, 1., 4.27 A1 B2 C3 D4考点剖析：本题考的是无理数的辨别力，正确理解概念无理数的认识是解决问题的关键：根据无理数的概念一一辨认。 1. 是无限循环小数，所以也不是没有道理。 解：3.14159，1.是有限小数，所以是有理数，4.2数，64?4是有理数，22是分数，是有理数，所以是无限不循环小数，所以无理数只有一个，故选A。 7 规则概要：无理数是无限不循环小数，中学常见。无理数包括三种情况：有根式，但求不出平方根；有根式，但求不出平方根；有根式，但求不出平方根；无理数有根式，但求不出平方根；无理数有根式，但求不出平方根。 它们包含公式；

13.有一定规则的人工构造的数字，后接省略号，如1.？ （之后每两个 1 之间多一个 0）。 关键词：无理数 8.（2021贵州贵阳1、3分）下列整数中，小于3的整数是（）A.4B。 2 C.2 D.3 测试点剖析：本题测试整数的比较大小。 根据有理数大小的比较方法：正数大于负数； 两个负数，绝对值较大但较小，所以解起来并不困难。 解题思路：采用排除法。 由于正数大于负数，因此可以排除选项C和D。 从|3|2|得到32，选项B也是错误的。 因此，选A。 答案过程：|4|3|，43，故选A。 规则总结： 有理数比较：正数大于负数； 两个负数中，绝对值较大的较小。 关键词：有理数比较（2021贵州铜仁，1，

14. 4 分) 2 的相反数是 ( ) 11 B 错误！ 未找到参考来源。 B 2 22 测试点剖析：本题测试相反的数字。 正确理解相反数的概念是解决问题的关键。 解题思路：相反数是绝对值相同、符号不同的两个数。 解答过程： 解：2的相反数是?(?2)?2； 所以选择DB 2。 规则总结：根据相反数的概念和数轴上的特征进行判断。 从形式上看，只是标志不同。 在数轴上，它们位于原点的两侧，并且到原点的距离相等。 另外，互为相反数的两个数之和为 0。 关键词：相反数 10.（2021 河南 1、3 分）下列数中，最小的是 ( ) (A) - 2 (B) -0.1 (C)0 (D) - 测试点解剖：本题测试绝对值和有理数的比较。 这个测试点需要注意的是

15、比较两个负数的大小，关键是求出负数的绝对值并理解和掌握比较有理数大小的方法。 解题思路：首先找出?1=1，这样四个数中有正负数和零，由于要求最小的数，所以只需要比较负数中最小的数即可。 最小的数是2。 求解过程： 解：?1=1, ?00.12，最小的数是2。因此，选A 规则概要： 如何求绝对值：正数的绝对值是它本身， 0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数； 有理数比较的方法：所有正数都大于0，所有负数都小于0，两个负数比较时，绝对值较大的较小。 关键词：有理数 有理数相关概念 绝对值 有理数的比较大小 11.（2021湖北黄冈，1、3分）下列实数中，哪个是无理数（ ） A4 BC？

16.D2测试点剖析：本题测试无理数的概念。 根据概念解决是解决问题的基础。 解题思路：42、4是有理数； 822、8是有理数； 01，？ 是有理数； 在2中，平方根2是无理数。 求解过程： 解：42、A为有理数； 822、B是有理数； 01、在C2中，被被数的根是无穷大的，而D是无理数，所以选择D。 规则总结：常见的几种无理数与无理数有关，如3 3 3 3 ?、?3等； 根类型：2，平方根相等则有无穷多个； 不存在2个有限非循环小数：如1.； 三角函数：如 tan30 等 关键词：无理数 12.（2021 湖南长沙，1、3 点）+3 的相反数是 ( ) A 1 3 B-3C - 1 3 D3 本题考查概念相反数，要求学生掌握相反数

17、只有利用相反数的概念才能得出正确答案。 求解过程基于相反数的概念：数字相同且符号相反。 3的相反数是3。所以这题的选项是D规则总结： (1)a的相反数是a。 当a0、aa时； 当a=0时，a=a； (2) 若a和b互为相反数，则ab=0； (3) a及其对数在数轴上对应的点距原点等距。 关键词：相反 13.（2021湖南常德，9，3分）如果a和5互为倒数，则a() A 11 B5 C5D - 55 考点解剖：本题考查求倒数的方法。 做题的时候要注意求绝对值和相反数的区别。 解题思路：如果a和b互为倒数，则ab1 求解过程： 解：a和5互为倒数 倒数，5的倒数所以选A。 规则总结： 求

18. 求分数的倒数，将整数的倒数直接写成分数的分数。 也就是将分数的分子和分母的位置颠倒过来。 要求小数的倒数，可以先将小数化成分数，然后求其倒数； 要求分数的倒数，请先将它化为假分数，然后求它的倒数特别注意0没有倒数，但0有相反数。 关键词：有理数的倒数 14.（2021湖南衡阳，1、3分）3的绝对值为（ ）A 11，所以a 55 11 B3 C3 D？ 33 测试点剖析：本题测试绝对值的概念。 关键是要理解绝对值的含义。 解题思路：根据绝对值的含义，求一个负数的绝对值只要找到这个负数的相反数即可。因此，-3的绝对值为3。求解过程：因为-3的相反数是3，-3的绝对值为3，所以选C。 规则总结：正数的绝对值

19、等于自身，0的绝对值是0，负数的绝对值等于它的相反数。 关键词：绝对值 15.（2021湖南娄底1、3分）2021年的倒数是（）A 11 B。？ C. 2021 D. ?2 测试点剖析：本题测试倒数的概念。 关键是要弄清楚数字的概念，不要混淆它们。 解题思路：彼此的倒数的乘积为1。借助2021，求解过程：解：2021的倒数为1，乘积为1。求解2021的倒数为1，所以选择A。2021规则摘要：如果a和b互为倒数，则ab=1，反之亦然。 倒数等于其自身的数是 1 和 -1。零没有倒数。 关键词：倒数湖南益阳，1、4分)-2 绝对值等于( ) 11 D？ 22测试点解剖：这道题有道理

20、对于数字的绝对值，掌握绝对值的含义是关键。 解题思路：根据负数的绝对值与其相反数即可求得解。 求解过程：解：|-2|=2，故选A。 规则总结：正数的绝对值为它本身，负数的绝对值为它的相反数，0的绝对值为0。关键词：绝对值 17.（2021湖南株洲1、3分）？9的相反数是（ ）A2 B-2 C A9 B？9 C 1 9 D？ 1 9 考点剖析：本题主要考查相反数的概念。 请注意，只有两个具有不同符号的数字彼此相反。 不要将它们误解为标志。 两个不同的数互为相反数。 解题思路：根据相反数的概念，只有符号不同的两个数才称为相反数。 所以 9 的相反数是 9。 解题过程： 9 的相反数是 9，所以选 A 规则总结： 掌握概念是解决此类问题的关键

21、关键对立、绝对值、数轴等概念是中考关键关键词：对立 18.（2021江苏淮安，1、3分）1的相反数是（ ）2 11 AB C2D2 22 1 前面加“-”是它的反义词。 2 考点剖析：本题考查有理数的对立面概念。 掌握反义词的含义是解决问题的关键。 解题思路：两个只有符号不同的数称为相反数，所以只要在解题过程中： 解：11的相反数是——所以选A22 1 =2。 规则总结：求一个数的相反数，只要改变它的符号，其他部分不变即可。 请注意，不要使用连续的等号来连接相反的数字，例如1，仔细分析各种形式，然后回答问题()2?1?2,S1?; 22； 3 (3)2?1?4,S3?; (2)2?1?3,s2

22.？ ？ (1) 请用一个包含n（n为正整数）的方程来表达上述变化规则； (2)计算OA10的长度； 2 222 （3）求S1+S2+S3+?+S10的值（烟台市中考题） 10已知函数y？ ?3x?1?22，则 、y 的取值范围均为有理数，且满足方程 (? 12 ? 1? ) ，且 a 和 b 满足 ab +-ab=1，则 b= (四川省竞赛题）13 已知正数a、b有如下命题：若a=1，b=1，则ab?1； 如果一个？ 如果a=2，b=3，那么ab？

23. 153，b？，然后ab？； 222 5； 如果a=1，b=5，那么ab？ 3. 2 根据以上命题提供的信息，请猜：若a=6，b=7，则ab（黄冈市竞赛题） 14 已知：11 ?|a|?1，则代数的值公式？|a| 是 ( ) aa55A。 B.？ C.?D（重庆市竞赛题）15关于x方程的根数| 1？| 2 2 a?b 的值为 ( ) a?b 3 AB6 C2 D3 （全国初中数学竞赛题） 17 若a、b、c 为不等有理数，证明：111 是有理数？ 222 (a?b)(b?c)(c?a)?11?22?2。 18 计算：？ 2n 1 n 1（2021年广西竞赛题） 19设y？ ax?b ,a,b,c,d 均为有理数，x为无理数。 证明：cx?d (1) 当bc=ad时，y为有理数； (2)当bc-:ad时，y为无理数。 答案：4 5 实数的概念和性质