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计算机领域实数的概念与性质以及性质的运算实数

chanong
2024-01-27 16:00:34
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实数的概念及性质 篇一:实数的有关概念和性质以及实数的运算 实数的概念 实数可以分为有理数和无理数两类,或代数数和超越数两类,或正实数,负实数和零三类

一、实数的概念和性质 第一部分:实数的相关概念和性质以及实数的运算 实数的概念 实数可以分为两类:有理数和无理数,或者两类:代数数和超越数,或正实数、负实数和零三类。 实数集通常用粗体字母R表示。 并表示n维实数空间。 实数是不可数的。 实数是实数论的核心研究对象。 实数可用于测量连续量。 理论上,任何实数都可以用无限小数表示。 小数点右边是无限序列(可以是循环的或非循环的)。 在实际应用中,实数常常被近似为有限小数(保留小数点后n位,n为正整数)。 在计算机领域,由于计算机只能存储有限的小数位数,所以实数常常用浮点数来表示。 实数的运算规则 1、加法规则: (1) 将两个符号相同的数相加,然后得到

2. 如果符号相同,则将其绝对值相加; (2) 两个符号不同的数相加,取绝对值较大的被加数的符号,用较大的绝对值减去较小的绝对值。 可以利用加法交换律:两个数相加,交换被数的位置,和不变,即: 加法结合律:三个数相加什么是正实数,先将前两个数相加,或者将后两个数相加数字先相加时,和保持不变,即: 2.减法规则:减去一个数等于加上该数的相反数。 即ab=a+(-b) 3、乘法规则:(1)两个数相乘,符号相同取正,符号不同取负,绝对值相乘。 (2) n个实数相乘时,若其中一个因数为0,则乘积为0; 如果n个非0实数相乘,乘积的符号由负因数的个数决定。 当负面因素为偶数时,乘积为正; 当负面因素为奇数时,乘积为负。 (3)乘法可以利用乘法交换律:两个数相乘,交换因数的位置。

3、乘积不变,即: 乘法结合律:三个数相乘时,先乘前两个数,或先乘后两个数,乘积不变,即: 。 分配律:将一个数乘以两个数之和,相当于将该数分别乘以两个数,然后将乘积相加: 4. 除法规则: (1) 如果两个数除以相同的符号,则得到正数,如果符号不同,结果为负数,并除以绝对值。 (2) 除以一个数等于乘以该数的倒数。 即(3)0除以任意数都等于0,不能用0作为被除数。 5、幂:含义是n个a的乘法,即正数的任意次方都是正数,负数的偶次方是正数,负数的奇次方是负数数字。 幂和平方根互为逆运算。 。 6、实数的运算顺序:乘方和平方根为三级运算,乘法和除法为二级运算,加法和减法为一级运算。 如果没有括号,则必须在同级运算中从左到右进行运算。 不同级别的运气

4、计算时,先计算高级操作,再计算低级操作。 如果有括号,则先计算括号内的运算。 无论何种操作,都必须先注意符号,然后再进行操作。 实数计算的常见类型和方法 1、实数的运算 (1)加法:将两个符号相同的数相加,取原符号,并加上绝对值; 将两个符号不同的数字相加。 取绝对值较大的数的符号,用较大的绝对值减去较小的绝对值; 任何数字加零都等于原始数字。 (2)减法ab=a+(-b) (3)乘法两个数相乘时,符号相同为正,不同符号为负,绝对值相乘; 零乘以任何数都为零,即(4)除法(5)幂(6)平方根如果x2a和x0,则x; 如果x3=a,那么在同一个公式中,先乘除根,再乘除,最后有括号时加减,先计算括号内3个实数的算术定律 (1) 交换律添加

5. a+bb+a (2) 加法结合律 (a+b)+c=a+(b+c) (3) 乘法交换律 abba (4) 乘法结合律 (ab)c =a(bc) ( 5) 分配律 a(b+c)=ab+ac 其中 a、b、c 代表任意实数。 应用算术定律有时可以使运算变得更简单。 1、加法运算的方法和技巧。 例1 计算: 分析:题() 关键是确定运算顺序。 如果有括号,则先计算括号内的; (2)问题的关键是求出公式中绝对值符号的值,然后求出整个公式的值。 在进行有理数的混合计算时,小学学过的确定运算顺序的方法仍然适用:两个互为相反数的数先相加(即“异数组合法”); 同号数先相加(“同号组合法”); 分母相同的数先相加(“相反数的组合法”)“同分母的组合法”; 几个数相加得到一个整数首先要“凑”

6、“整数法”; 整数与整数、小数与小数相加的“同构组合法”。 2.乘除运算的方法和技巧。 例2:计算: 分析: () 没有括号用来指定运算顺序,所以我们应该先计算幂,然后计算除法,最后计算除法 (2) 使用括号来指定运算顺序,所以我们应该先计算括号里的内容,然后按顺序进行。 另外,我们还可以利用乘法加法的分配律去掉括号,然后按顺序注释: 对有理数进行混合运算时,首先要注意正确的运算顺序;其次要注意运算顺序。 其次,注意符号的变化; 第三,注意操作属性不要出错; 三、实数在幂运算中的相关概念和性质 2021 一、多项选择题 1.(2021 福建泉州,1,3)7 的相反数是() A7 B7 C 11D 77 考点解剖:本题主要考查求相反数的方法。 准确把握相反数的定义是关键。

7. 钥匙; 解题思路:只有符号不同的两个数称为互斥数; 解题过程:与7只有符号不同的数是7,所以应该选B。要求一个数的相反数,只要在这个数前面加一个负号即可。 正数的相反数是负数,负数的相反数是正数,0的相反数是0。 2.(2021年广东广州1、3分)实数3的倒数是(*)A? 11 B C3 D3 33 本题测试如何求实数的倒数。 掌握求倒数的方法是解决问题的关键:求一个整数的倒数,写成这个整数的二分之一。 过程: 解:3是整数,3的倒数是1,故选B3。 规则总结: (1)求一个整数(或正整数)的倒数,写为该整数(或正整数)的二分之一; (2) 求一个分数(或分数)的倒数,

8. 交换分子和分母的位置求倒数后,如果分母包含根符号,则需要对分母进行有理化。 关键词:实数; 倒数3.(2021年广东省,1、3分)5的绝对值为( ) A5 B5 C 1 5 D 1 5 本题考查求实数的绝对值。 掌握求绝对值的代数方法是解题的关键:5是负数。 根据正数的绝对值,它等于它本身,零。 绝对值为零。 负数的绝对值等于它的相反数。 可以直接找到答案。 求解过程: 解:5是负数,它的绝对值等于它的相反数。 5的相反数是5,5的绝对值。是5,所以选A。 规则总结:求整数的绝对值通常有代数方法和几何方法。 代数方法直接根据定义,即正数的绝对值等于其自身,零的绝对值为零,负数的绝对值等于其相反数

9、几何法就是利用数轴,根据绝对值的定义,直接在数轴上画出对应的组合长度即可知道答案。 关键词:绝对值 4.(2021 广西桂林 1、3 分)2021 的相反数 是 ( ) A.2021 B.2021C.-2021D。 1 2021 考点解剖:本题测试相反数的概念。 回答这个问题的关键是理解相反数的含义。 解题思路:直接根据相反数的含义即可解题。 方法一:数字a的相反数是a; 方法二:在数轴上距原点左右两侧且距原点等距的两个数互为相反数。 解题过程: 方法一:2021的相反是2021; 方法二:2021在原点的右边,到原点的距离是2021个单位,所以它的对面是在原点的左边,到原点的距离也是2021个单位,所以

10、这个数是2021,选答案B。 答案:B 规则总结:一般我们在判断一个数的相反数时,只需在该数前面加一个负号,即该数的相反数a是-a,这题是个基础题。 关键词:对数 5.(2021年广西桂林2、3分)以下为若干城市某年1月平均气温,其中平均气温最低的是( ) A. 桂林市 11.2 B. 广州市13.5 C. 北京-4.8 D. 南京 3.4 考点剖析:本题考查有理数的比较。 直接比较这四个数字的大小就可以找到答案。 解题思路:根据正数大于0,负数小于0,正数大于负数。 可以看到,这四个数字中,4.8是最小的。 回答过程:因为13.511.23.44.8,最低平均气温为北京-4.8,所以选择C。答案:C规则

11、总结:有理数的比较规则是:所有正数都大于0; 所有负数都小于 0; 正数大于所有负数; 两个负数中,绝对值较大者的值较小。 关键词:有理数比较1 2021 贵州安顺,1,3分)0,1,,2这四个数中,最小的数是( )21 A B0 C1 D2 2 考点解剖:本题考大小比较有理数。 掌握有理数大小比较的方法是Key。 解题思路:有理数中,负数小于0,负数小于正数,所以最小的数是-2。 求解过程: 解:-20 1 1,最小的数是-2,所以选D 2. 规则总结:有理数大小 比较的一般方法:所有正数都大于0,所有负数都小于0. 正数大于所有负数。 两个负数的绝对值越大越小; 在数轴上表示时,右边的数字总是大于左边的数字。 关键词:有理数

12. 比较尺寸? 1?, 22) 7. (2021贵州安顺, 8, 3分) 实数中:3.14159, 1., 4.27 A1 B2 C3 D4考点剖析:本题考的是无理数的辨别力,正确理解概念无理数的认识是解决问题的关键:根据无理数的概念一一辨认。 1. 是无限循环小数,所以也不是没有道理。 解:3.14159,1.是有限小数,所以是有理数,4.2数,64?4是有理数,22是分数,是有理数,所以是无限不循环小数,所以无理数只有一个,故选A。 7 规则概要:无理数是无限不循环小数,中学常见。无理数包括三种情况:有根式,但求不出平方根;有根式,但求不出平方根;有根式,但求不出平方根;无理数有根式,但求不出平方根;无理数有根式,但求不出平方根。 它们包含公式;

13.有一定规则的人工构造的数字,后接省略号,如1.? (之后每两个 1 之间多一个 0)。 关键词:无理数 8.(2021贵州贵阳1、3分)下列整数中,小于3的整数是()A.4B。 2 C.2 D.3 测试点剖析:本题测试整数的比较大小。 根据有理数大小的比较方法:正数大于负数; 两个负数,绝对值较大但较小,所以解起来并不困难。 解题思路:采用排除法。 由于正数大于负数,因此可以排除选项C和D。 从|3|2|得到32,选项B也是错误的。 因此,选A。 答案过程:|4|3|,43,故选A。 规则总结: 有理数比较:正数大于负数; 两个负数中,绝对值较大的较小。 关键词:有理数比较(2021贵州铜仁,1,

14. 4 分) 2 的相反数是 ( ) 11 B 错误! 未找到参考来源。 B 2 22 测试点剖析:本题测试相反的数字。 正确理解相反数的概念是解决问题的关键。 解题思路:相反数是绝对值相同、符号不同的两个数。 解答过程: 解:2的相反数是?(?2)?2; 所以选择DB 2。 规则总结:根据相反数的概念和数轴上的特征进行判断。 从形式上看,只是标志不同。 在数轴上,它们位于原点的两侧,并且到原点的距离相等。 另外,互为相反数的两个数之和为 0。 关键词:相反数 10.(2021 河南 1、3 分)下列数中,最小的是 ( ) (A) - 2 (B) -0.1 (C)0 (D) - 测试点解剖:本题测试绝对值和有理数的比较。 这个测试点需要注意的是

15、比较两个负数的大小,关键是求出负数的绝对值并理解和掌握比较有理数大小的方法。 解题思路:首先找出?1=1,这样四个数中有正负数和零,由于要求最小的数,所以只需要比较负数中最小的数即可。 最小的数是2。 求解过程: 解:?1=1, ?00.12,最小的数是2。因此,选A 规则概要: 如何求绝对值:正数的绝对值是它本身, 0的绝对值是0,负数的绝对值是它的相反数; 有理数比较的方法:所有正数都大于0,所有负数都小于0,两个负数比较时,绝对值较大的较小。 关键词:有理数 有理数相关概念 绝对值 有理数的比较大小 11.(2021湖北黄冈,1、3分)下列实数中,哪个是无理数( ) A4 BC?

16.D2测试点剖析:本题测试无理数的概念。 根据概念解决是解决问题的基础。 解题思路:42、4是有理数; 822、8是有理数; 01,? 是有理数; 在2中,平方根2是无理数。 求解过程: 解:42、A为有理数; 822、B是有理数; 01、在C2中,被被数的根是无穷大的,而D是无理数,所以选择D。 规则总结:常见的几种无理数与无理数有关,如3 3 3 3 ?、?3等; 根类型:2,平方根相等则有无穷多个; 不存在2个有限非循环小数:如1.; 三角函数:如 tan30 等 关键词:无理数 12.(2021 湖南长沙,1、3 点)+3 的相反数是 ( ) A 1 3 B-3C - 1 3 D3 本题考查概念相反数,要求学生掌握相反数

17、只有利用相反数的概念才能得出正确答案。 求解过程基于相反数的概念:数字相同且符号相反。 3的相反数是3。所以这题的选项是D规则总结: (1)a的相反数是a。 当a0、aa时; 当a=0时,a=a; (2) 若a和b互为相反数,则ab=0; (3) a及其对数在数轴上对应的点距原点等距。 关键词:相反 13.(2021湖南常德,9,3分)如果a和5互为倒数,则a() A 11 B5 C5D - 55 考点解剖:本题考查求倒数的方法。 做题的时候要注意求绝对值和相反数的区别。 解题思路:如果a和b互为倒数,则ab1 求解过程: 解:a和5互为倒数 倒数,5的倒数所以选A。 规则总结: 求

18. 求分数的倒数,将整数的倒数直接写成分数的分数。 也就是将分数的分子和分母的位置颠倒过来。 要求小数的倒数,可以先将小数化成分数,然后求其倒数; 要求分数的倒数,请先将它化为假分数,然后求它的倒数特别注意0没有倒数,但0有相反数。 关键词:有理数的倒数 14.(2021湖南衡阳,1、3分)3的绝对值为( )A 11,所以a 55 11 B3 C3 D? 33 测试点剖析:本题测试绝对值的概念。 关键是要理解绝对值的含义。 解题思路:根据绝对值的含义,求一个负数的绝对值只要找到这个负数的相反数即可。因此,-3的绝对值为3。求解过程:因为-3的相反数是3,-3的绝对值为3,所以选C。 规则总结:正数的绝对值

19、等于自身,0的绝对值是0,负数的绝对值等于它的相反数。 关键词:绝对值 15.(2021湖南娄底1、3分)2021年的倒数是()A 11 B。? C. 2021 D. ?2 测试点剖析:本题测试倒数的概念。 关键是要弄清楚数字的概念,不要混淆它们。 解题思路:彼此的倒数的乘积为1。借助2021,求解过程:解:2021的倒数为1,乘积为1。求解2021的倒数为1,所以选择A。2021规则摘要:如果a和b互为倒数,则ab=1,反之亦然。 倒数等于其自身的数是 1 和 -1。零没有倒数。 关键词:倒数湖南益阳,1、4分)-2 绝对值等于( ) 11 D? 22测试点解剖:这道题有道理

20、对于数字的绝对值,掌握绝对值的含义是关键。 解题思路:根据负数的绝对值与其相反数即可求得解。 求解过程:解:|-2|=2,故选A。 规则总结:正数的绝对值为它本身,负数的绝对值为它的相反数,0的绝对值为0。关键词:绝对值 17.(2021湖南株洲1、3分)?9的相反数是( )A2 B-2 C A9 B?9 C 1 9 D? 1 9 考点剖析:本题主要考查相反数的概念。 请注意,只有两个具有不同符号的数字彼此相反。 不要将它们误解为标志。 两个不同的数互为相反数。 解题思路:根据相反数的概念,只有符号不同的两个数才称为相反数。 所以 9 的相反数是 9。 解题过程: 9 的相反数是 9,所以选 A 规则总结: 掌握概念是解决此类问题的关键

21、关键对立、绝对值、数轴等概念是中考关键关键词:对立 18.(2021江苏淮安,1、3分)1的相反数是( )2 11 AB C2D2 22 1 前面加“-”是它的反义词。 2 考点剖析:本题考查有理数的对立面概念。 掌握反义词的含义是解决问题的关键。 解题思路:两个只有符号不同的数称为相反数,所以只要在解题过程中: 解:11的相反数是——所以选A22 1 =2。 规则总结:求一个数的相反数,只要改变它的符号,其他部分不变即可。 请注意,不要使用连续的等号来连接相反的数字,例如1,仔细分析各种形式,然后回答问题()2?1?2,S1?; 22; 3 (3)2?1?4,S3?; (2)2?1?3,s2

22.? ? (1) 请用一个包含n(n为正整数)的方程来表达上述变化规则; (2)计算OA10的长度; 2 222 (3)求S1+S2+S3+?+S10的值(烟台市中考题) 10已知函数y? ?3x?1?22,则 、y 的取值范围均为有理数,且满足方程 (? 12 ? 1? ) ,且 a 和 b 满足 ab +-ab=1,则 b= (四川省竞赛题)13 已知正数a、b有如下命题:若a=1,b=1,则ab?1; 如果一个? 如果a=2,b=3,那么ab?

23. 153,b?,然后ab?; 222 5; 如果a=1,b=5,那么ab? 3. 2 根据以上命题提供的信息,请猜:若a=6,b=7,则ab(黄冈市竞赛题) 14 已知:11 ?|a|?1,则代数的值公式?|a| 是 ( ) aa55A。 B.? C.?D(重庆市竞赛题)15关于x方程的根数| 1?| 2 2 a?b 的值为 ( ) a?b 3 AB6 C2 D3 (全国初中数学竞赛题) 17 若a、b、c 为不等有理数,证明:111 是有理数? 222 (a?b)(b?c)(c?a)?11?22?2。 18 计算:? 2n 1 n 1(2021年广西竞赛题) 19设y? ax?b ,a,b,c,d 均为有理数,x为无理数。 证明:cx?d (1) 当bc=ad时,y为有理数; (2)当bc-:ad时,y为无理数。 答案:4 5 实数的概念和性质

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