圆周率：数学常数的历史、应用与重要性

2、周长，因为是希腊文“圆周率”的第一个字母，1706年英国的琼斯首先使用，1737年欧拉在著作中使用，后来被数学家广泛接受，沿用至今，是一个非常重要的常数。 德国一位数学家评论道：“历史上一个国家计算圆周率的精确程度，可以作为衡量该国当时数学发展水平的重要指标。”中外许多数学家孜孜不倦地寻求计算圆周率的方法。从埃及到巴比伦再到中国，人们一直在研究圆周率的精确值。在早期的计算中，人们采用的方法很粗糙。古埃及人和古希腊人用谷粒摆成圆圈，将谷粒数与正方形比较，得出圆周率的数值。或者用均匀加重的木板锯成圆圈和正方形，比较数值，从而得出略微精确的圆周率值。我国东西汉之交，新朝王莽命刘歆制造了测量用的容器——

3、陆家丈量。刘辛在制作标准容器的过程中，需要用到圆周率圆周率，他求得了圆周率的一些不一致的近似值，分别为3.1547、3.1992、3.1498、3.2031，这些数值比古代3/3直径的比率有所提高。这种人类探索的结果，在主要用于估算圆形田地面积时，对生产影响不大，但不适合制作器皿或其他计算。转图为《汉莽》辛家良铭文。公元前200年，古希腊数学家阿基米德首先从理论上给出了正确的数值计算方法。他专门写了一篇关于圆的测量的论文，利用圆的外接和内接多边形的周长，同时在大方向和小方向逐步逼近圆的周长，巧妙地计算出来了。 这是科学界首次使用上下限来确定近似值。大约公元前 150 年，另一位古希腊数学家托勒密使用了弦表法（与 1 的中心角相对的弦的长度乘以

4.360除以圆的直径）得出的近似值为3.1416。公元200年，中国数学家刘徽在《九章算术》注中独立发现了用几何学求圆周率的方法，他称之为“割圆法”。刘徽从正六边形入手，不断将正多边形的边数翻倍。正六边形、正十二边形、正二十边形、正四十八边形等边数越多，越接近圆。最终，刘徽得出了3.1416。刘徽的方法和阿基米德不同，他只是从内接于圆的正六边形入手，同样不断将边数翻倍，而刘徽却用正多边形的面积来近似圆的面积。 刘韡认为“切得越细，损失越少。反复切，直到切不下去，便与圆周融为一体，不失其所。”其中蕴含着朴素的极限思想。公元460年，南朝祖冲之用刘韡的切圆法，计算出小数点后七位的数值3。这

5、七位小数的圆周率在当时是世界上第一个，祖冲之还发现了两个分数22、7和355、113。用分数代替大大简化了计算，比西方早了一千年。可见当时中国数学家对圆周率的值作了比较精确的计算，对以后中国数学的发展起到了举足轻重的作用。1579年，法国的韦达发现了这一关系，第一次摆脱了几何学的旧方法，找到了解析表达式。1650年，沃利斯表述了无穷积、无穷连分数、无穷级数等各种值表达式，值计算的精度迅速提高。后来，莱布尼茨发现这些公式的计算量很大，欧拉证明了这些公式。虽然形式很简单，但值计算方法的最大突破是找到了它的反正切函数表达式。 1706年，英国数学家马克辛首次发现其计算速度远远超过了方点算法。

6、古代有一位书记员画了一些半径长度不等的圆，他取每个圆的直径（将半径乘以2），只是为了好玩。他决定以每个圆的直径为单位长度，测量每个圆的周长。令人惊奇的是，不管圆大或小，周长总是比直径的3倍多一点。因为与圆的特殊关系，数学家们设计了一种计算圆面积和周长的新方法。对于计算各种量，如体积、面积、周长，以及任何与圆、圆柱、圆锥、球有关的量，都是必要的，而且只需要=3.14。20世纪50年代以后，圆周率的计算开始使用电子计算机，从而有了新的突破，现在有人声称已经计算到几亿甚至几十亿位有效数字。在科学计算中，圆周率一般要求10位数字。 如果用它来计算地球的周长，误差只有几厘米。更精确的计算最多需要

7. 30位数字。因此，人们追求圆周率的多位数已经不再是现实需要，现在计算的几百万小数，大多是为了验证计算公式的有效性，计算机将依靠它来测试自己的能力，测试自己的准确度和速度。当然，也有打破原有记录的欲望，毕竟世界纪录是人类向往的目标之一。人们试图从统计学上找出公式的数字中是否存在某种规律，竞争还在继续。正如有人所说，数学家的探索过程就像这个数字：永不重复，永无止境。数学家在进行计算的同时，研究了圆周率的理论性质。1761年，数学家兰伯特证明了是一个无理数，即它是一个无限不循环的小数，不能用任意两个整数的比来表示。1794年，法国数学家勒让德证明了是一个无理数。 1882年圆周率的历史，德国数学家林德曼证明圆周率是

8、超越数，即它不是任何一个整系数的代数多项式方程的根。林德曼由此间接地解决了两千多年来困扰人们的求圆平方问题，解释了用尺规作图的不可能性。还有人研究了它与其他数的联系。例如1929年苏联数学家盖尔方证明了它是超越数。随着数学的不断发展，人们的应用已不仅限于求圆的面积和周长。它的值也出现在椭圆、次摆线、摆线的面积公式中。此外，一些函数的定义，积分的计算，指数的合成等都有用到。例如1777年法国数学家布丰研究了投针问题。 他把一根长度为l的针任意地抛到有间距为a（al）的平行线的平面上，得出针与任意一条平行线相交的概率为p=2l/a。π与随机现象有着密切的联系，也就是说，它也起着概率的作用。

9、在数学中，还有一个重要公式=4log(1-i/1+i)i/2把圆周率和虚数单位i联系起来。1740年，欧拉进一步得到了关系式ei+1=0，把数学中五个重要的数学运算和两个最重要的数学符号统一在一个公式里，真是太神奇了！在数论中，法国人沙特尔于1904年得到一个定理：如果把任意两个整数写下来，它们互为素数的概率是6。一个简单的圆周率几乎无处不在，为什么数学家们仍然像登山者一样不断向上攀登，不断地求索，而不是停止对圆周率的探索呢？为什么它的小数值如此吸引人呢？这大概是人类好奇心和敢于领先别人的心态所必然导致的，但除此之外还有很多其他的原因。1、它现在可以被人们用来测试或验证超级计算机的性能，特别是运算速度和计算过程。

10. 的稳定性。2. 计算方法和思路能够引发新的概念和思想。 的故事讲述的是人类的胜利，而不是机器的胜利。3. 关于 的计算的另一个问题是：我们能否无限地继续计算下去？4. 作为一个无穷级数，数学家们感兴趣的是将其展开到几亿位数字，这可以提供足够的数据来验证人们提出的一些理论问题，并发现许多令人着迷的性质。例如，在 的小数展开中，10 个数字中哪些比较稀有，哪些比较密集？在 的展开中，某些数字是否比其他数字出现的频率更高？也许它们不是完全随机的？这样的想法并不是一个无聊的举动。只有头脑敏锐的人，才会问出这种看似简单，很多人习以为常却不屑于问的问题。在这方面，还有如下统计结果：8 个连续的 8；9 个 7；10 个 6；60 亿个数字中出现了 10 个小数点后的数字。

11、从第11、12位开始，连续出现了7个3；从小数点后第52638位开始，连续出现了这8个数，正好是前8位；从小数点后第12位开始，出现了一串有趣的数字，可惜前面少了一个9；又出现了一串更有趣的数字。再继续下去，似乎会出现各种各样的数字序列组合。背诵圆周率可以锻炼人的记忆力。中国桥牌高手茅以升，年少时就能背诵圆周率锻炼记忆力，晚年还能轻松背出圆周率的100位数值。可见，圆周率不仅与我们身边的数学息息相关，也与我们的生活息息相关。俗话说，“有理可走天下，无理则步履维艰”。圆周率就是这种“理”。 有了圆周率，不仅解决了困扰无数数学家的三大著名几何难题之一“化圆为方”的问题，而且为后来的数学研究奠定了基础。4