（每日一题）三角形边角关系的重要定理

正弦定理（引自百度百科）

正弦

在三角形中，每条边与其对角的正弦之比相等。

即a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（2R是同一个三角形中的常数，是这个三角形外接圆半径的两倍）

该定理对于任意三角形ABC都成立

a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R

R 是三角形外接圆的半径

证明

步骤1。

在锐角△ABC中，设BC=a，AC=b，AB=c。 设CH⊥AB的脚为H点

CH=a·sinB

CH=b·sinA

∴a·sinB=b·sinA

得到

a/sinA=b/sinB

同样，在△ABC中，

b/sinB=c/sinC

第2步。

证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：

如图所示，对于任意三角形ABC，画ABC的外接圆O。

令直径 BD 与 ⊙O 与 D 相交。

连接DA。

因为直径所对的圆周角是直角，所以∠DAB=90度

因为同一圆弧所对的圆周角相等，所以∠D 等于∠C。

所以c/sinC=c/sinD=BD=2R

其余两个方程可类似证明。

意义

正弦定理指出任意三角形的三边与相应角度的正弦之间的关系。 它也是由正弦函数在区间上的简单函数确定的。

从调性可以看出，正弦定理很好地描述了任何三角形的边和角之间的数量关系。

余弦定理

余弦定理是揭示三角形边和角之间关系的重要定理。 它可以直接用来解决求给定三角形的第三条边（有两条边和一个角）的问题，或者求三个已知边的角的问题。 如果对余弦定理进行修改并适当转移到其他知识中，使用起来会更加方便灵活。

对于任意三角形，三边分别为a、b、c，三角形为A、B、C，满足性质

（注：a*b和a*c分别是a乘以b和a乘以c。a^2、b^2和c^2分别是a的平方、b的平方和c的平方。）

a^2=b^2+c^2-2*b*c*CosA

b^2=a^2+c^2-2*a*c*CosB

c^2=a^2+b^2-2*a*b*CosC

CosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab

CosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac

CosA=(c^2+b^2-a^2)/2bc

证明：

∵如图所示，有a→+b→=c→

∴c·c=(a+b)·(a+b)

∴c^2=a·a+2a·b+b·b∴c^2=a^2+b^2+2|a||b|Cos(π-θ)

整理后得到c^2=a^2+b^2-2|a||b|Cosθ（注：这里用的是三角函数公式）

再拆开，可得 c^2=a^2+b^2-2*a*b*CosC

同样的原理还可以证明其他事情，下面的CosC=(c^2-b^2-a^2)/2ab就是用CosC向左移动来表示的。

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平面几何证明：

在任意△ABC中

做AD⊥BC。

与∠C 相对的边为c，与∠B 相对的边为b，与∠A 相对的边为a。

则有BD=cosB*c、AD=sinB*c、DC=BC-BD=a-cosB*c

根据毕达哥拉斯定理，我们可以得到：

AC^2=AD^2+DC^2

b^2=(sinB*c)^2+(a-cosB*c)^2

b^2=sin^2B*c^2+a^2+cos^2B*c^2-2ac*cosB

b^2=(sin^2B+cos^2B)*c^2-2ac*cosB+a^2

b^2=c^2+a^2-2ac*cosB

cosB=(c^2+a^2-b^2)/2ac

从余弦定理和余弦函数的性质可以看出，如果三角形两条边的平方和等于第三条边的平方，那么第三条边所对的角一定是直角。 如果小于第三边的平方，则第三边所对的角是钝角。 如果它大于第三边的平方，则第三边所成的角是锐角。 也就是说，利用余弦定理，可以确定三角形的形状。 同时，还可以利用余弦定理求出三角形边长的取值范围。

海伦公式

海伦公式又译为海伦公式、海龙公式、英雄公式、海伦-秦九少公式。 传说他就是古代锡拉丘兹国王赫伦。

海伦二世发现的公式利用三角形三边的长度来求出三角形的面积。 然而，根据克莱恩1908年发表的著作，这个公式实际上是阿基米德发现的，并以 II的名义发表（未经证实）。 我国宋代数学家秦九韶也提出了“三斜求积法”，与海伦公式基本相同。

假设有一个三角形，边长分别为a、b、c。 三角形的面积S可以通过以下公式计算：

S=%√[p(pa)(pb)(pc)]

式中p为半周长：

p=(a+b+c)/2

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注1：在《》（《测量理论》）手稿中，s被用作半周长，所以

S=√[p(pa)(pb)(pc)] 和 S=√[s(sa)(sb)(sc)] 都是可能的，但 p 通常用作半周长。

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由于任何n边多边形都可以分为n-2个三角形，因此可以使用Heron公式作为求多边形面积的公式。 例如，测量土地面积时，不需要测量三角形的高。 您只需测量两点之间的距离，就可以轻松得出答案。

证明（1）：

与Heron在他的《测量论》一书中最初的证明不同，这里我们使用三角公式和公式的变换来证明它。假设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、分别为 C，则余弦定理为

cosC = (a^2+b^2-c^2)/2ab

S=1/2*ab*sinC

=1/2*ab*√(1-cos^2C)

=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2]

=1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2]

=1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)]

=1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(ab)^2]

=1/4*√[(a+b+c)(a+bc)(a-b+c)(-a+b+c)]

设 p=(a+b+c)/2

那么p=(a+b+c)/2，pa=(-a+b+c)/2，pb=(a-b+c)/2，pc=(a+bc)/2，

上式=√[(a+b+c)(a+bc)(a-b+c)(-a+b+c)/16]

=√[p(pa)(pb)(pc)]

因此，三角形ABC的面积为S=√[p(pa)(pb)(pc)]

证明（2）：

我国宋代数学家秦九韶也提出了“三斜求积分术”。 与Helen的公式基本相同。 其实，在《九章算术》中，已经有求三角形的公式三角形面积计算公式，“底乘以高的一半”。 实际测量土地面积时，由于土地面积不是三角形，所以必须求出。 这不是一件容易的事。 于是他们想到了三角形的三条边。 如果这样做的话，求三角形的面积就会容易得多。 但是如何根据三角形的三边长度求出三角形的面积呢？ 直到南宋时期，我国著名数学家九韶才提出了“三斜求积法”。

秦九少将三角形的三条边分别称为小坡、中坡、大坡。 “术”就是方法。 三斜求积法是将小斜率的平方与大斜率的平方相加，送至斜率的平方，减去后余数取一半，再与自身相乘，得到一个数。 将小斜率的平方乘以大斜率的平方，然后将其发送到上面获得的值。 。 减法后，余数除以4。得到的数被视为“实数”，1被用作“角”。 求平方根后，就得到了面积。

所谓“实”、“角”，是指方程px 2 = qk中，p为“角”，Q为“实”。设△、a、b、c代表面积，大坡度、中坡度和三角形的斜率很小，所以

q=1/4[c 2a 2-(c%| 2+a 2-b 2/2) 2]

当P=1时，△2=q，

S△=√{1/4[c 2a 2-(c 2+a 2-b 2/2) 2]}

计入

1/16[(c+a) 2-b 2][b62-(ca) 2]

=1/16(c+a+b)(c+ab)(b+ca)(b-c+a)

=1/8S(c+a+b-2b)(b+c+a-2a)(b+a+c-2c)

=p(pa)(pb)(pc)

所以：

S△=√[p(pa)(pb)(pc)]

其中 p=1/2(a+b+c)

这与海伦公式完全一致，因此这个公式也被称为“海伦-秦九少公式”。

S=c/2*根号a^-{(a^-b^+c^)/2c}^。其中c>b>a。

根据Heron公式，我们可以继续将其推广到四边形的面积计算。 问题例如：

已知四边形ABCD是圆的内接四边形，AB=BC=4，CD=2，DA=6。 求四边形ABCD的面积。

这里我们使用Heron公式的推广

S圆内接四边形=平方根(pa)(pb)(pc)(pd)（其中p是周长的一半，a、b、c、d是4条边）

代入解得 s=8√ 3

海伦公式及其推广的几种替代证明

计算三角形面积在解决问题中的主要应用公式有：

设△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，ha为a边的高，R、r分别为△ABC的外接圆和内切圆的半径，p = (a +b+c)，则

S△ABC =1/2 aha=1/2 ab×sinC =1/2 rp

= =

其中，S△ABC=是著名的海伦公式，记载于希腊数学家海伦的著作《大地测量学》中。

海伦公式在解决问题中有着非常重要的应用。

1.Heron公式的变形

S=

= ①

=②

= ③

= ④

=⑤

2. Heron公式的证明

证明毕达哥拉斯定理

分析：从三角形最基本的计算公式S△ABC = aha开始，利用勾股定理推导海伦公式。

证明：如图ha⊥BC所示，根据毕达哥拉斯定理，可得：

x = y =

哈哈 = = =

∴ S△ABC = aha= a× =

此时S△ABC就是变形④，因此得证。

证明2：斯科特定理

分析：根据证明1，利用斯科特定理直接求ha。

斯里兰卡定理：取△ABC的BC边任意D点，

若BD=u，DC=v，AD=t。 然后

t 2 =

证明：由证明1可知u = v =

∴ha 2 = t 2 = -

∴ S△ABC = aha = a ×

此时就是S△ABC的变形⑤，因此得证。

证明三：余弦定理

分析：由变形可知②S=，并用余弦定理c2=a2+b2-来证明。

证明：证明S =

那么我们需要证明 S =

=ab×sinC

此时S=ab×sinC就是一个三角形计算公式，因此得到证明。

证明4：身份

分析：考虑用S△ABC=rp。 因为出现了三角形的内切圆的半径，所以可以考虑应用三角函数的恒等式。

恒等式：若∠A+∠B+∠C =180○则

tg·tg + tg·tg + tg·tg = 1

证明：如图所示，tg=①

tg = ②

tg = ③

根据恒等式，我们得到：

+ + =

代入①②③，可得：

∴r2(x+y+z) = xyz ④

如图：a+bc = (x+z)+(x+y)-(z+y) = 2x

∴x = 类似地： y = z =

代入④，可得： r 2 · =

两边相乘得到：

r 2 · =

两边同时开平方，可得：r·=

左边r·=r·p=S△ABC，右边是Heron公式①的变形，从而得到证明。

证明5：半角定理

半角定理：tg =

tg =

tg =

证明：根据 tg = = ∴r = × y ①

同理 r = × z ② r = × x ③

①×②×③，可得：r3 = ×xyz

∵ 根据证明 1，x == -c = pc

y = = -a = pa

z = = -b = pb

∴ r3 = ∴ r =

∴S△ABC = r·p = 因此得证。

3、海伦配方的推广

由于在实际应用中，经常需要计算四边形的面积，因此有必要对Heron公式进行推广。 由于三角形内接于圆，因此推测Heron公式的推广为：在任意内接于圆的四边形ABCD中，假设p= ，则S四边形=

现在我们根据猜想来证明一下。

证明：如图所示，延长DA、CB交于点E。

设 EA = e EB = f

∵∠1+∠2 =180○ ∠2+∠3 =180○

∴∠1 =∠3 ∴△EAB～△ECD

∴ = = =

解： e = ① f = ②

由于S四边形ABCD = S△EAB

将①、②、b=代入公式，对④进行变换，可得：

∴S 四边形 ABCD =

因此，Heron公式的推广得到了证明。

4、海伦公式的应用与推广

海伦公式的推广在实际问题解决中得到了广泛的应用，特别是在与四边形内切圆有关的各种综合问题中。 直接应用海伦公式的推广往往能达到事半功倍的效果。

例：如图所示，四边形ABCD内接于圆O，SABCD = ，AD = 1，AB = 1，CD = 2。

发现：四边形可能是等腰梯形。

解：设BC=x

由Heron公式推广，我们得到：

(4-x)(2+x)2 =27

x4－12x2－16x+27 = 0

x2(x2—1)－11x(x－1)－27(x－1) = 0

(x－1)(x3＋x2－11x－27) = 0

x = 1 或 x3 + x2-11x-27 = 0

当x=1时，AD=BC=1

∴四边形可以是等腰梯形。

程序中实现（VBS）：

调暗 a、b、c、p、s

a=("输入三角形的第一条边")

a=cint(a)

b=("输入三角形的第二条边")

b=cint(b)

c=("输入三角形的第三条边")

c=cint(c)

p=(a+b+c)/2

s=Sqr(p*(pa)*(pb)*(pc))

s, ,“三角形面积”