如何配制溶液？彻底克服注意力不集中的问题

[提问]理发店也需要用到代数吗？事实上，这种情况确实存在。我确认这一点的方式是这样的：有一天，我在一家理发店，店主走到我面前，问了我一个意想不到的问题：

“你能帮我们解决一个困扰我们的问题吗？”

“这上面已经浪费了不少墨水了！”另一个插话道。

“什么样的话题？”我问。

“我们有两种过氧化氢溶液，——30%和3%。我们想将它们混合制成12%的溶液。但我们找不到合适的比例。”

他们给了我一张纸，让我计算这个比例。

这道题看起来做起来非常简单。怎么做呢？

【解】这道题也可以用算术方法来解，但这里用代数语言更简单、更快。假设要制备12% 的混合物，必须使用x 克3% 溶液和y 克30% 溶液。前一部分中有0.03x克纯过氧化氢，后一部分中有0.3y克。总计为

0.03x+0.3y

结果是含有0.12 (x+y) 克纯过氧化氢的x+y 克溶液。你得到一个等式：

0.03x+0.3y=0.12(x+y)

将方程中的每一项乘以100 并去掉括号，得到：

3x+30y=12x+12y

因此

18y=9x 和x:y=18:9 是x:y=2:1

这意味着3% 溶液和30% 溶液应按2:1 的比例混合。

计算检验：取3%溶液2公斤，30%溶液1公斤。其所含纯过氧化氢总量为

0.03·2000+0.3·1000=60+300=360克

三公斤（3000克）混合物中含有360克过氧化氢：其百分比为

【点评】片名《在理发店里》取材于苏联科普作家贝莱利曼的经典作品《趣味代数学》。问题中提到的过氧化氢溶液就是过氧化氢，分子式：H2O2。无色澄清液体；无味或具有类似臭氧的气味；遇氧化物或还原性物质迅速分解、起泡，遇光易变质。适用于化脓性外耳炎及中耳炎、文森特氏口腔炎、牙龈脓漏、扁桃体炎及清洁伤口。

双氧水清洗伤口的注意事项：

1、双氧水只能用于外用消毒，不能内服。

2、切勿使用高浓度双氧水进行伤口消毒，以免灼伤皮肤及患处。一般采用3%医用过氧化氢进行消毒。

3、用双氧水清洗伤口后，再次用清水或生理盐水冲洗，防止伤口感染。

建立方程的基础是找出问题所涉及的量之间的等价关系。

我们都知道糖水是将糖溶解在水中得到的。糖称为溶质，水称为溶剂，糖水称为溶液。如果水量不变，那么糖加得越多，糖水就越甜。也就是说，糖水的甜度是由糖（溶质）与糖水（溶液=糖+水）的重量比决定的。这个比例称为糖水的含糖量或含糖量。同样，当酒精溶解在水中时，纯酒精与酒精溶液的重量之比称为酒精含量。溶质、溶剂、溶液和溶质含量有以下基本关系：

溶液重量=溶质重量+溶剂重量，

溶质含量=溶质重量溶液重量，

溶液重量=溶质重量溶质含量，

溶质重量=溶液重量溶质含量。

溶质含量通常以百分比表示。

本题方程的等价关系是溶质相等，采用溶质重量=溶液重量溶质含量的基本公式。溶质含量为百分比浓度。

制定方程还需要将百分比转换为小数的知识。我们来看看数学老师总结的相关知识点。

解决浓度问题最基本的方法是方程法。通过对方程法的广泛练习，以及对解题过程的观察和思考，数学老师总结出了“交叉法”，帮助学生提高解题速度和准确性。

我们在理发店想一下这个问题，方程的系数18和9是怎么来的。

18=30-12，9=12-3

我们来看一下由方程法衍生出来的“十字交叉法”。

该方法有两种形式，但本质上是相同的。

这种方法确实给计算带来了很大的方便。

上图是“十字交叉法”的公式。

注意力不集中问题的常见类型

将130克含盐5%的盐水与含9%盐的盐水混合，制备含盐6.4%的盐水。 6.4%的盐水有多少克？

回答：

【方法一（方程法）】假设需要加入x克浓度为9%的盐水，且满足条件，则根据溶质相等可得方程：

因此，需要添加70克浓度为9%的盐水。混合后，浓度为6.4%的盐水200克。

【方法2（算术方法）】130克溶液中的盐含量从5%增加到6.4%，增加：

130 (6.4% 5%)=1.82(g),

当9% 盐水浓度降至6.4% 时沉淀出的盐对这些进行了补充，因此9% 盐水的质量为：

1.82 (9% 6.4%)=70（克）。

这样，总共可配制的卤水为：

130 + 70=200（克）。

【方法3（十字交叉法）】利用公式可知，需要添加9%的盐水：

因此需要70 克9% 盐水，混合后所得6.4% 盐水为200 克。

另一类题是增加溶质，保持溶剂不变，用浓度公式求解（注意溶液也增加）。

例如，有40公斤浓度为8%的盐水。加盐后，盐水浓度变为20%。求添加盐的质量。

假设添加x公斤盐。加盐后，溶液浓度变为20%。根据浓度公式

可用的

求解得到x=6

浓度问题也可以看作是用交叉法将原溶液与浓度为100%的溶液混合。

2. 稀释和蒸发问题

溶质不变，溶液减少或增加，根据溶质用浓度公式求解；稀释问题也可以看作是用交叉法将原溶液和浓度为0的溶液混合。

例如，有40公斤浓度为8%的盐水。水蒸发后，盐水的浓度变为20%。求蒸发水的质量。

假设蒸发了x 公斤水。蒸发后，溶液浓度变为20%。

求解得到x=24

3. 混合问题

将两种或多种溶液混合，根据溶质或溶剂使用浓度公式来解决问题。经常使用交叉法。

真题讲座

将30% A 型盐溶液和20% B 型盐溶液混合制成500 克24% 盐溶液，然后分别取( ) 两种溶液A 和B。 (2008-1)

A.180克、320克B.185克、315克

C.190克、310克D.195克、305克

E.200克、300克

分析：

假设A的量为x克，B的量为(500-x)克，则：

x=200，所以A有200克，B有300克。选择E。

闪杀技巧：

混合后的浓度为24%，可采用“十字法”求得。

因此，A的数量为：B的数量=4%:6%=2:3，合计为500，所以A为200克，B为300克。

4. 更换问题

一般情况下，用等量的溶剂代替溶液。你可以记住结论：原溶液是v升，倒出m升，然后加入等量的溶剂（水），那么浓度就是原来的（v-m）v

例子：

一瓶浓度为20%的消毒液倒出2/5，然后装满水。再倒出2/5后，再次注满水。此时消毒剂的浓度是多少？

例题分析：

答：浓度为7.2%。

最后，我们引入比例法来解决浓度问题。

例：100公斤含水量90%的水果从仓库发货。一周后再次检测水果，发现水分含量已降至80%。现在这批水果的总重量是多少？

分析与解决：水果可分为“水”和“果”两部分。起初，郭忠

100(1-90%)=10(公斤)。

一周后，含水量变为80%，“果”与“水”的比例为

因为“水果”是一个常变量，始终为10公斤，所以可以查出此时“水”的重量为40公斤，