三角形的边长 公式海又译作希伦公式海龙公式、希罗公式

海伦公式：

S=（△）=√[p(pa)(pb)(pc)]

其中 p 是三角形周长的一半 p=(a+b+c)/2。

~~~~以下转载自百度百科~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

海伦公式又译为海伦公式、海龙公式、英雄公式、海伦-秦九少公式、

传说古代锡拉丘兹王鹭（又名海龙）二世发现了这个公式，利用三角形的三边长来计算三角形的面积。 然而，根据克莱恩1908年发表的著作，这个公式实际上是阿基米德发现的，并以 II的名义发表（未经证实）。 我国宋代数学家秦九韶也提出了“三斜求积法”，与海伦公式基本相同。

假设有一个三角形，边长分别为a、b、c。 三角形的面积S可以通过以下公式计算：

S=√[p(pa)(pb)(pc)]

式中p为半周长：

p=(a+b+c)/2

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注：《》（《测量理论》）手稿用s作为半周长，所以

S=√[p(pa)(pb)(pc)] 和 S=√[s(sa)(sb)(sc)] 都是可能的，但 p 通常用作半周长。

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由于任何n边多边形都可以分为n-2个三角形，因此可以使用Heron公式作为求多边形面积的公式。 例如，测量土地面积时，不需要测量三角形的高。 您只需测量两点之间的距离，就可以轻松得出答案。

证明（1）：

与Heron在他的《测量论》一书中最初的证明不同，这里我们使用三角公式和公式修改来证明它。假设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C ，则余弦定理为

cosC = (a^2+b^2-c^2)/2ab

S=1/2*ab*sinC

=1/2*ab*√(1-cos^2C)

=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2]

=1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2]

=1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)]

=1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(ab)^2]

=1/4*√[(a+b+c)(a+bc)(a-b+c)(-a+b+c)]

设 p=(a+b+c)/2

那么p=(a+b+c)/2，pa=(-a+b+c)/2，pb=(a-b+c)/2，pc=(a+bc)/2，

上式=√[(a+b+c)(a+bc)(a-b+c)(-a+b+c)/16]

=√[p(pa)(pb)(pc)]

因此，三角形ABC的面积为S=√[p(pa)(pb)(pc)]

证明（2）：

我国宋代数学家秦九韶也提出了“三斜求积分术”。 与Helen的公式基本相同。 其实，在《算术九章》中，已经有一个三角形公式“底的一半乘以高”。 实际测量土地面积时，由于土地面积不是三角形，所以需要求出来。 这不是一件容易的事。 于是他们想到了三角形的三条边。 如果这样做的话，求三角形的面积就会容易得多。 但是如何根据三角形的三边长度求出三角形的面积呢？ 直到南宋时期，我国著名数学家九韶才提出了“三斜求积法”。

秦九少将三角形的三条边分别称为小坡、中坡、大坡。 “术”就是方法。 三斜求积分技术是将小斜率的平方与大斜率的平方相加，送至斜率的平方，减去后取余数的一半，再与自身相乘，得到一个数。 将小斜率的平方乘以大斜率的平方，然后将其发送到上面获得的值。 。 减法后，余数除以4。得到的数视为“实”，1作为“角”。 求平方根后，就得到了面积。

所谓“实”、“角”，是指方程px 2 = qk中，p为“角”，Q为“实”。设△、a、b、c代表面积，大坡度、中坡度和三角形的斜率很小，所以

q=1/4[c 2a 2-(c%| 2+a 2-b 2/2) 2]

当P=1时，△2=q，

S△=√{1/4[c 2a 2-(c 2+a 2-b 2/2) 2]}

计入

1/16[(c+a) 2-b 2][b62-(ca) 2]

=1/16(c+a+b)(c+ab)(b+ca)(b-c+a)

=1/8S(c+a+b-2b)(b+c+a-2a)(b+a+c-2c)

=p(pa)(pb)(pc)

所以：

S△=√[p(pa)(pb)(pc)]

其中 p=1/2(a+b+c)

这与海伦公式完全一致，因此这个公式也被称为“海伦-秦九少公式”。

S=c/2*根号a^-{(a^-b^+c^)/2c}^。其中c>b>a。

根据Heron公式，我们可以继续将其推广到四边形的面积计算。 问题例如：

已知四边形ABCD是圆的内接四边形，AB=BC=4，CD=2，DA=6。 求四边形ABCD的面积。

这里我们使用Heron公式的推广

S圆内接四边形=平方根(pa)(pb)(pc)(pd)（其中p是周长的一半，a、b、c、d是4条边）

代入解得 s=8√ 3

海伦公式及其推广的几种替代证明

计算三角形面积在解决问题中的主要应用公式有：

设△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，ha为a边的高，R、r分别为△ABC的外接圆和内切圆的半径，p = (a +b+c)，则

S△ABC = aha= ab×sinC = rp

= =

其中，S△ABC=是著名的海伦公式，记载于希腊数学家海伦的著作《大地测量学》中。

海伦公式在解决问题中有着非常重要的应用。

1.Heron公式的变形

S=

= ①

=②

= ③

= ④

=⑤

2. Heron公式的证明

证明毕达哥拉斯定理

分析：从三角形最基本的计算公式S△ABC = aha开始，利用勾股定理推导海伦公式。

证明：如图ha⊥BC所示，根据毕达哥拉斯定理，可得：

x = y =

哈哈 = = =

∴ S△ABC = aha= a× =

此时S△ABC就是变形④，因此得证。

证明2：斯科特定理

分析：根据证明1，利用斯科特定理直接求ha。

斯里兰卡定理：取△ABC的BC边任意D点，

若BD=u，DC=v，AD=t。 然后

t 2 =

证明：由证明1可知u = v =

∴ha 2 = t 2 = -

∴ S△ABC = aha = a ×

此时就是S△ABC的变形⑤，因此得证。

证明三：余弦定理

分析：由变形可知②S=，并用余弦定理c2=a2+b2-来证明。

证明：证明S =

那么我们需要证明 S =

=ab×sinC

此时S=ab×sinC就是一个三角形计算公式，因此得到证明。

证明4：身份

分析：考虑用S△ABC=rp。 因为出现了三角形的内切圆的半径，所以可以考虑应用三角函数的恒等式。

恒等式：若∠A+∠B+∠C =180○则

tg·tg + tg·tg + tg·tg = 1

证明：如图所示，tg=①

tg = ②

tg = ③

根据恒等式，我们得到：

+ + =

代入①②③，可得：

∴r2(x+y+z) = xyz ④

如图：a+bc = (x+z)+(x+y)-(z+y) = 2x

∴x = 类似地： y = z =

代入④，可得： r 2 · =

两边相乘得到：

r 2 · =

两边同时开平方，可得：r·=

左边r·=r·p=S△ABC，右边是Heron公式①的变形三角形的边长，从而得到证明。

证明5：半角定理

半角定理：tg =

tg =

tg =

证明：根据 tg = = ∴r = × y ①

同理 r = × z ② r = × x ③

①×②×③，可得：r3 = ×xyz

∵ 根据证明 1，x == -c = pc

y = = -a = pa

z = = -b = pb

∴ r3 = ∴ r =

∴S△ABC = r·p = 因此得证。

3、海伦配方的推广

由于在实际应用中，经常需要计算四边形的面积，因此有必要对Heron公式进行推广。 由于三角形内接于圆，因此推测Heron公式的推广为：在任意内接于圆的四边形ABCD中，假设p= ，则S四边形=

现在我们根据猜想来证明一下。

证明：如图所示，延长DA、CB交于点E。

设 EA = e EB = f

∵∠1+∠2 =180○ ∠2+∠3 =180○

∴∠1 =∠3 ∴△EAB～△ECD

∴ = = =

解： e = ① f = ②

由于S四边形ABCD=S△EAB

将①、②、b=代入公式，对④进行变换，可得：

∴S 四边形 ABCD =

因此，Heron公式的推广得到了证明。

4、海伦公式的应用与推广

海伦公式的推广在实际问题解决中有着广泛的应用，特别是在与圆内切四边形相关的各种综合问题中。 直接应用海伦公式的推广往往能达到事半功倍的效果。

例：如图所示，四边形ABCD内接于圆O，SABCD = ，AD = 1，AB = 1，CD = 2。

发现：四边形可能是等腰梯形。

解：设BC=x

由Heron公式推广，我们得到：

(4-x)(2+x)2 =27

x4－12x2－16x+27 = 0

x2(x2—1)－11x(x－1)－27(x－1) = 0

(x－1)(x3＋x2－11x－27) = 0

x = 1 或 x3 + x2-11x-27 = 0

当x=1时，AD=BC=1

∴四边形可以是等腰梯形。